library(dplyr)
library(fixest)
N <- 1000
within <- 100
group_id <- rep(seq(1, N/within, 1), each = within)
indi <- rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
x <- rbinom(N, 3, 0.5)
y <- 1 + 2 * x + indi + rnorm(N, mean = 0, sd = 1)
data <- data.frame(id = 1:N, y = y, x = x)
data$id <- as.factor(data$id)はじめに
計量経済学ではよく固定効果分析が行われる。具体的には、固定効果は時間不変の固定効果やグループ内固定効果を含んだ分析が存在するが、これらを推計するための大原則として、一つのグループに複数のobservationが存在することが挙げられる。例えば、時間不変な固定効果を含む分析では、個人\(i\)に対して\(T\)期分のobservationが存在する。また、グループ内固定効果についてもグループ（クラスタとよく呼ばれる）内には複数のobservationが存在する。では、もしグループ内にobservationが一つしか存在しない場合、推計は行うことができるのか。本記事では、クロスセクションデータにおいて、グループ内のobservation数を調整することで考察する。
理論
グループ固定効果を含むモデルは以下のように示される。 \[ \begin{aligned} &y = X\beta + D\alpha + u \\ &u \sim N(0,\sigma^2I) \end{aligned} \]
この場合、FWL定理より、\(β\)の推計値は以下のように示される。 \[ \begin{aligned} &\hat{\beta} = (X^{\prime}M_DX)^{-1}X^{\prime}M_Dy \\ &M_D = I-D(D^{\prime}D)D^{\prime} \end{aligned} \]
\(M_D\)はグループ内平均との差分行列であり、例えば、\(X^{\prime}M_DX\)を要素で表すと、以下のようになる。 \[ X^{\prime}M_DX = \sum_g^G\sum_{i\in{g}}(x_i-\bar{x}_g)(x_i-\bar{x}_g)^{\prime} \]
もし、グループ内にobservationが一つしかない場合、\(x_i-\bar{x}_g\)が0となるので、識別ができなくなる。
これをシミュレーションで回してみる。
まず、固定効果を含めない回帰分析の結果を確認する。
model<- lm(y ~ x, data = data)
summary(model)
Call:
lm(formula = y ~ x, data = data)
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-4.2235 -0.9406 -0.0165 0.8777 5.0801
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 1.06506 0.08763 12.15 <2e-16 ***
x 2.00253 0.05040 39.73 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 1.371 on 998 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.6127, Adjusted R-squared: 0.6123
F-statistic: 1579 on 1 and 998 DF, p-value: < 2.2e-16結果は切片とxの係数共に設定した係数と同じになっている。これは、indiとxが独立であるため、推定モデルからindiを欠落させても欠落変数バイアスが発生しないためである。
次に、固定効果を含めた推計を行う。
model_fe <- lm(y ~ x + id, data = data)
summary(model_fe)
Call:
lm(formula = y ~ x + id, data = data)
Residuals:
ALL 1000 residuals are 0: no residual degrees of freedom!
Coefficients: (1 not defined because of singularities)
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 6.202813 NaN NaN NaN
x -1.461383 NaN NaN NaN
id2 1.388400 NaN NaN NaN
id3 -1.321067 NaN NaN NaN
id4 1.570022 NaN NaN NaN
id5 1.470904 NaN NaN NaN
id6 1.068941 NaN NaN NaN
id7 0.609950 NaN NaN NaN
id8 0.814551 NaN NaN NaN
id9 3.500416 NaN NaN NaN
id10 1.178703 NaN NaN NaN
id11 -5.509070 NaN NaN NaN
id12 -2.512312 NaN NaN NaN
id13 6.072836 NaN NaN NaN
id14 -1.692755 NaN NaN NaN
id15 -2.004913 NaN NaN NaN
id16 2.707485 NaN NaN NaN
id17 -3.536302 NaN NaN NaN
id18 -1.272295 NaN NaN NaN
id19 -2.362752 NaN NaN NaN
id20 1.481109 NaN NaN NaN
id21 -0.588651 NaN NaN NaN
id22 0.858039 NaN NaN NaN
id23 -3.108960 NaN NaN NaN
id24 6.283671 NaN NaN NaN
id25 -1.872789 NaN NaN NaN
id26 4.209759 NaN NaN NaN
id27 6.156556 NaN NaN NaN
id28 -4.493706 NaN NaN NaN
id29 1.920464 NaN NaN NaN
id30 4.911326 NaN NaN NaN
id31 -6.391418 NaN NaN NaN
id32 -4.954987 NaN NaN NaN
id33 5.184478 NaN NaN NaN
id34 0.617184 NaN NaN NaN
id35 4.115863 NaN NaN NaN
id36 -2.054516 NaN NaN NaN
id37 -0.218876 NaN NaN NaN
id38 1.181965 NaN NaN NaN
id39 1.740638 NaN NaN NaN
id40 -0.746249 NaN NaN NaN
id41 -1.839018 NaN NaN NaN
id42 -5.049683 NaN NaN NaN
id43 1.690676 NaN NaN NaN
id44 -0.759110 NaN NaN NaN
id45 -3.316869 NaN NaN NaN
id46 2.645570 NaN NaN NaN
id47 -2.853545 NaN NaN NaN
id48 -4.823027 NaN NaN NaN
id49 3.033657 NaN NaN NaN
id50 -3.143854 NaN NaN NaN
id51 1.498928 NaN NaN NaN
id52 1.102746 NaN NaN NaN
id53 -4.700755 NaN NaN NaN
id54 -5.789206 NaN NaN NaN
id55 2.118823 NaN NaN NaN
id56 -0.290207 NaN NaN NaN
id57 -1.369706 NaN NaN NaN
id58 1.881230 NaN NaN NaN
id59 -4.226309 NaN NaN NaN
id60 2.456419 NaN NaN NaN
id61 3.466653 NaN NaN NaN
id62 -3.858578 NaN NaN NaN
id63 0.772582 NaN NaN NaN
id64 2.051260 NaN NaN NaN
id65 -1.340569 NaN NaN NaN
id66 -1.649750 NaN NaN NaN
id67 -6.201468 NaN NaN NaN
id68 1.057947 NaN NaN NaN
id69 -1.930055 NaN NaN NaN
id70 -1.046899 NaN NaN NaN
id71 4.489738 NaN NaN NaN
id72 -2.796049 NaN NaN NaN
id73 -6.638184 NaN NaN NaN
id74 -5.881125 NaN NaN NaN
id75 -1.892032 NaN NaN NaN
id76 4.195591 NaN NaN NaN
id77 -5.531189 NaN NaN NaN
id78 -0.064004 NaN NaN NaN
id79 -1.840114 NaN NaN NaN
id80 -0.333478 NaN NaN NaN
id81 0.815197 NaN NaN NaN
id82 -2.117594 NaN NaN NaN
id83 -1.915695 NaN NaN NaN
id84 -0.298763 NaN NaN NaN
id85 -4.497698 NaN NaN NaN
id86 0.460946 NaN NaN NaN
id87 2.160072 NaN NaN NaN
id88 4.329064 NaN NaN NaN
id89 -7.280927 NaN NaN NaN
id90 0.047734 NaN NaN NaN
id91 -2.585439 NaN NaN NaN
id92 -1.846688 NaN NaN NaN
id93 -2.047280 NaN NaN NaN
id94 0.993037 NaN NaN NaN
id95 5.048441 NaN NaN NaN
id96 -7.310536 NaN NaN NaN
id97 5.145856 NaN NaN NaN
id98 -1.944434 NaN NaN NaN
id99 2.784964 NaN NaN NaN
id100 -0.227486 NaN NaN NaN
id101 -2.631713 NaN NaN NaN
id102 3.511885 NaN NaN NaN
id103 4.102650 NaN NaN NaN
id104 5.912717 NaN NaN NaN
id105 -1.177132 NaN NaN NaN
id106 0.589602 NaN NaN NaN
id107 -0.924079 NaN NaN NaN
id108 -0.368626 NaN NaN NaN
id109 4.252233 NaN NaN NaN
id110 -1.245927 NaN NaN NaN
id111 2.458796 NaN NaN NaN
id112 -2.316060 NaN NaN NaN
id113 -5.705241 NaN NaN NaN
id114 2.415984 NaN NaN NaN
id115 -0.528371 NaN NaN NaN
id116 1.225613 NaN NaN NaN
id117 -2.957527 NaN NaN NaN
id118 -3.718753 NaN NaN NaN
id119 0.631843 NaN NaN NaN
id120 1.716546 NaN NaN NaN
id121 6.245285 NaN NaN NaN
id122 -1.104950 NaN NaN NaN
id123 4.861660 NaN NaN NaN
id124 2.889432 NaN NaN NaN
id125 -1.194329 NaN NaN NaN
id126 1.338040 NaN NaN NaN
id127 2.712645 NaN NaN NaN
id128 -1.298158 NaN NaN NaN
id129 -5.627601 NaN NaN NaN
id130 -1.119882 NaN NaN NaN
id131 1.173186 NaN NaN NaN
id132 -2.430035 NaN NaN NaN
id133 -1.040572 NaN NaN NaN
id134 2.242625 NaN NaN NaN
id135 -5.338501 NaN NaN NaN
id136 -2.528519 NaN NaN NaN
id137 3.674370 NaN NaN NaN
id138 -5.242255 NaN NaN NaN
id139 0.964703 NaN NaN NaN
id140 -2.132234 NaN NaN NaN
id141 4.299951 NaN NaN NaN
id142 5.235275 NaN NaN NaN
id143 -0.161498 NaN NaN NaN
id144 3.109646 NaN NaN NaN
id145 3.782526 NaN NaN NaN
id146 -3.658137 NaN NaN NaN
id147 3.649581 NaN NaN NaN
id148 5.755116 NaN NaN NaN
id149 0.741865 NaN NaN NaN
id150 -3.290663 NaN NaN NaN
id151 -4.829461 NaN NaN NaN
id152 2.092082 NaN NaN NaN
id153 6.671032 NaN NaN NaN
id154 2.579294 NaN NaN NaN
id155 0.492990 NaN NaN NaN
id156 3.344860 NaN NaN NaN
id157 1.668219 NaN NaN NaN
id158 4.648827 NaN NaN NaN
id159 4.519507 NaN NaN NaN
id160 4.012280 NaN NaN NaN
id161 -2.585555 NaN NaN NaN
id162 2.212323 NaN NaN NaN
id163 0.332273 NaN NaN NaN
id164 2.078569 NaN NaN NaN
id165 -1.948104 NaN NaN NaN
id166 -0.191457 NaN NaN NaN
id167 0.957339 NaN NaN NaN
id168 2.804266 NaN NaN NaN
id169 4.725568 NaN NaN NaN
id170 -1.517775 NaN NaN NaN
id171 3.349393 NaN NaN NaN
id172 5.125126 NaN NaN NaN
id173 -0.512083 NaN NaN NaN
id174 -0.958836 NaN NaN NaN
id175 -3.933289 NaN NaN NaN
id176 -0.571812 NaN NaN NaN
id177 0.269539 NaN NaN NaN
id178 0.951779 NaN NaN NaN
id179 -5.402491 NaN NaN NaN
id180 -4.763282 NaN NaN NaN
id181 1.876394 NaN NaN NaN
id182 1.588930 NaN NaN NaN
id183 3.911228 NaN NaN NaN
id184 4.416624 NaN NaN NaN
id185 -6.155977 NaN NaN NaN
id186 1.163833 NaN NaN NaN
id187 0.747785 NaN NaN NaN
id188 -1.151618 NaN NaN NaN
id189 -2.030182 NaN NaN NaN
id190 -3.221424 NaN NaN NaN
id191 -6.375034 NaN NaN NaN
id192 0.307610 NaN NaN NaN
id193 -5.983610 NaN NaN NaN
id194 -0.399760 NaN NaN NaN
id195 -4.512177 NaN NaN NaN
id196 -5.814159 NaN NaN NaN
id197 -2.501782 NaN NaN NaN
id198 -1.424414 NaN NaN NaN
id199 2.668664 NaN NaN NaN
id200 -2.775539 NaN NaN NaN
id201 1.517944 NaN NaN NaN
id202 0.968535 NaN NaN NaN
id203 -1.480831 NaN NaN NaN
id204 1.571465 NaN NaN NaN
id205 -2.740879 NaN NaN NaN
id206 1.263118 NaN NaN NaN
id207 -2.102658 NaN NaN NaN
id208 -1.970920 NaN NaN NaN
id209 -4.076739 NaN NaN NaN
id210 1.157299 NaN NaN NaN
id211 0.066920 NaN NaN NaN
id212 0.236502 NaN NaN NaN
id213 -2.161911 NaN NaN NaN
id214 -3.793488 NaN NaN NaN
id215 5.957393 NaN NaN NaN
id216 -2.856348 NaN NaN NaN
id217 -1.157069 NaN NaN NaN
id218 4.108378 NaN NaN NaN
id219 -6.674606 NaN NaN NaN
id220 -1.736833 NaN NaN NaN
id221 -5.518012 NaN NaN NaN
id222 -0.875544 NaN NaN NaN
id223 2.232620 NaN NaN NaN
id224 3.043330 NaN NaN NaN
id225 -2.703479 NaN NaN NaN
id226 7.364101 NaN NaN NaN
id227 3.561208 NaN NaN NaN
id228 7.823467 NaN NaN NaN
id229 3.658364 NaN NaN NaN
id230 -1.555812 NaN NaN NaN
id231 -3.248950 NaN NaN NaN
id232 4.513206 NaN NaN NaN
id233 7.806494 NaN NaN NaN
id234 -0.069750 NaN NaN NaN
id235 0.657245 NaN NaN NaN
id236 0.787228 NaN NaN NaN
id237 -0.690326 NaN NaN NaN
id238 6.770254 NaN NaN NaN
id239 1.201065 NaN NaN NaN
id240 0.428303 NaN NaN NaN
id241 2.352230 NaN NaN NaN
id242 0.838542 NaN NaN NaN
id243 -1.233405 NaN NaN NaN
id244 -1.380343 NaN NaN NaN
id245 4.309859 NaN NaN NaN
id246 1.229974 NaN NaN NaN
id247 -0.495794 NaN NaN NaN
id248 -1.595555 NaN NaN NaN
id249 -1.717476 NaN NaN NaN
id250 1.849140 NaN NaN NaN
id251 -2.229270 NaN NaN NaN
id252 -3.505128 NaN NaN NaN
id253 0.645375 NaN NaN NaN
id254 5.659115 NaN NaN NaN
id255 -0.584484 NaN NaN NaN
id256 2.453136 NaN NaN NaN
id257 -7.783955 NaN NaN NaN
id258 7.998525 NaN NaN NaN
id259 -1.737798 NaN NaN NaN
id260 0.727549 NaN NaN NaN
id261 -0.483687 NaN NaN NaN
id262 5.850925 NaN NaN NaN
id263 -3.536442 NaN NaN NaN
id264 -2.594814 NaN NaN NaN
id265 4.284069 NaN NaN NaN
id266 -4.943809 NaN NaN NaN
id267 -0.388822 NaN NaN NaN
id268 5.533110 NaN NaN NaN
id269 1.439312 NaN NaN NaN
id270 -1.093442 NaN NaN NaN
id271 -3.552374 NaN NaN NaN
id272 6.822019 NaN NaN NaN
id273 -2.898653 NaN NaN NaN
id274 -0.882841 NaN NaN NaN
id275 -0.686111 NaN NaN NaN
id276 -1.718351 NaN NaN NaN
id277 2.079405 NaN NaN NaN
id278 -0.966552 NaN NaN NaN
id279 -0.613359 NaN NaN NaN
id280 -0.580030 NaN NaN NaN
id281 3.449256 NaN NaN NaN
id282 -2.222284 NaN NaN NaN
id283 5.890194 NaN NaN NaN
id284 2.902057 NaN NaN NaN
id285 -4.139878 NaN NaN NaN
id286 5.722377 NaN NaN NaN
id287 -1.383284 NaN NaN NaN
id288 1.317398 NaN NaN NaN
id289 -5.455802 NaN NaN NaN
id290 2.304141 NaN NaN NaN
id291 0.530476 NaN NaN NaN
id292 -3.714042 NaN NaN NaN
id293 -0.920766 NaN NaN NaN
id294 -2.114293 NaN NaN NaN
id295 0.563939 NaN NaN NaN
id296 0.805756 NaN NaN NaN
id297 -2.994472 NaN NaN NaN
id298 0.683859 NaN NaN NaN
id299 1.703918 NaN NaN NaN
id300 -1.299600 NaN NaN NaN
id301 -1.210447 NaN NaN NaN
id302 2.739934 NaN NaN NaN
id303 6.246590 NaN NaN NaN
id304 2.027866 NaN NaN NaN
id305 1.451462 NaN NaN NaN
id306 0.090587 NaN NaN NaN
id307 1.472452 NaN NaN NaN
id308 -1.779591 NaN NaN NaN
id309 0.520090 NaN NaN NaN
id310 -1.251588 NaN NaN NaN
id311 -2.953707 NaN NaN NaN
id312 1.609381 NaN NaN NaN
id313 1.859646 NaN NaN NaN
id314 0.114071 NaN NaN NaN
id315 4.833475 NaN NaN NaN
id316 0.437150 NaN NaN NaN
id317 -4.774624 NaN NaN NaN
id318 -6.486236 NaN NaN NaN
id319 1.685837 NaN NaN NaN
id320 -1.987092 NaN NaN NaN
id321 6.387385 NaN NaN NaN
id322 -3.738495 NaN NaN NaN
id323 1.681950 NaN NaN NaN
id324 1.164967 NaN NaN NaN
id325 -4.086415 NaN NaN NaN
id326 0.188490 NaN NaN NaN
id327 -1.473552 NaN NaN NaN
id328 -1.335101 NaN NaN NaN
id329 0.525494 NaN NaN NaN
id330 -1.135150 NaN NaN NaN
id331 -0.921942 NaN NaN NaN
id332 -3.037918 NaN NaN NaN
id333 -4.794145 NaN NaN NaN
id334 -1.574592 NaN NaN NaN
id335 -6.543570 NaN NaN NaN
id336 0.936814 NaN NaN NaN
id337 3.554446 NaN NaN NaN
id338 -0.109443 NaN NaN NaN
id339 2.314102 NaN NaN NaN
id340 -5.041872 NaN NaN NaN
id341 -4.230115 NaN NaN NaN
id342 1.392608 NaN NaN NaN
id343 0.409290 NaN NaN NaN
id344 -0.116491 NaN NaN NaN
id345 2.429139 NaN NaN NaN
id346 1.405521 NaN NaN NaN
id347 -0.953419 NaN NaN NaN
id348 -1.446264 NaN NaN NaN
id349 5.462303 NaN NaN NaN
id350 -0.805864 NaN NaN NaN
id351 5.617163 NaN NaN NaN
id352 -3.981137 NaN NaN NaN
id353 -8.443543 NaN NaN NaN
id354 -7.309937 NaN NaN NaN
id355 -1.829884 NaN NaN NaN
id356 -2.084703 NaN NaN NaN
id357 1.160777 NaN NaN NaN
id358 -4.876628 NaN NaN NaN
id359 -5.897290 NaN NaN NaN
id360 3.851195 NaN NaN NaN
id361 -5.669229 NaN NaN NaN
id362 -3.927651 NaN NaN NaN
id363 -2.143339 NaN NaN NaN
id364 2.737919 NaN NaN NaN
id365 -0.048557 NaN NaN NaN
id366 -4.631399 NaN NaN NaN
id367 2.046463 NaN NaN NaN
id368 -1.373363 NaN NaN NaN
id369 2.517044 NaN NaN NaN
id370 -1.889863 NaN NaN NaN
id371 -0.898835 NaN NaN NaN
id372 -3.700613 NaN NaN NaN
id373 3.623622 NaN NaN NaN
id374 3.991698 NaN NaN NaN
id375 -5.902129 NaN NaN NaN
id376 -2.185414 NaN NaN NaN
id377 2.816340 NaN NaN NaN
id378 -0.543502 NaN NaN NaN
id379 -0.820627 NaN NaN NaN
id380 1.416599 NaN NaN NaN
id381 -2.649059 NaN NaN NaN
id382 1.308279 NaN NaN NaN
id383 1.491380 NaN NaN NaN
id384 -0.248184 NaN NaN NaN
id385 -3.643557 NaN NaN NaN
id386 -0.874283 NaN NaN NaN
id387 -4.446670 NaN NaN NaN
id388 -3.380854 NaN NaN NaN
id389 2.586810 NaN NaN NaN
id390 3.714403 NaN NaN NaN
id391 0.645741 NaN NaN NaN
id392 3.446937 NaN NaN NaN
id393 -5.471542 NaN NaN NaN
id394 4.780836 NaN NaN NaN
id395 -2.091173 NaN NaN NaN
id396 1.857111 NaN NaN NaN
id397 2.909695 NaN NaN NaN
id398 0.065995 NaN NaN NaN
id399 -2.270840 NaN NaN NaN
id400 3.081767 NaN NaN NaN
id401 5.893574 NaN NaN NaN
id402 0.002477 NaN NaN NaN
id403 -3.757182 NaN NaN NaN
id404 -0.293054 NaN NaN NaN
id405 -1.946413 NaN NaN NaN
id406 -0.153900 NaN NaN NaN
id407 4.931698 NaN NaN NaN
id408 -1.871600 NaN NaN NaN
id409 -1.326362 NaN NaN NaN
id410 -3.348475 NaN NaN NaN
id411 -0.470939 NaN NaN NaN
id412 2.292850 NaN NaN NaN
id413 -3.303958 NaN NaN NaN
id414 -0.073291 NaN NaN NaN
id415 -1.934160 NaN NaN NaN
id416 -3.522876 NaN NaN NaN
id417 2.309909 NaN NaN NaN
id418 -2.611881 NaN NaN NaN
id419 4.142824 NaN NaN NaN
id420 -0.204475 NaN NaN NaN
id421 0.767477 NaN NaN NaN
id422 -0.512774 NaN NaN NaN
id423 5.413419 NaN NaN NaN
id424 -0.950115 NaN NaN NaN
id425 0.624981 NaN NaN NaN
id426 4.994062 NaN NaN NaN
id427 0.871782 NaN NaN NaN
id428 -3.035259 NaN NaN NaN
id429 -0.298612 NaN NaN NaN
id430 2.689997 NaN NaN NaN
id431 -3.066872 NaN NaN NaN
id432 -2.375388 NaN NaN NaN
id433 -2.595286 NaN NaN NaN
id434 -0.744770 NaN NaN NaN
id435 0.269007 NaN NaN NaN
id436 1.880491 NaN NaN NaN
id437 -1.400405 NaN NaN NaN
id438 -0.894087 NaN NaN NaN
id439 1.023971 NaN NaN NaN
id440 2.627767 NaN NaN NaN
id441 0.202996 NaN NaN NaN
id442 2.055308 NaN NaN NaN
id443 6.589999 NaN NaN NaN
id444 -3.612916 NaN NaN NaN
id445 5.766620 NaN NaN NaN
id446 2.708597 NaN NaN NaN
id447 -5.765060 NaN NaN NaN
id448 -0.506724 NaN NaN NaN
id449 -0.453817 NaN NaN NaN
id450 0.828621 NaN NaN NaN
id451 0.273379 NaN NaN NaN
id452 -2.572833 NaN NaN NaN
id453 -1.769755 NaN NaN NaN
id454 2.606832 NaN NaN NaN
id455 -4.811675 NaN NaN NaN
id456 -7.305775 NaN NaN NaN
id457 -3.254063 NaN NaN NaN
id458 -1.045476 NaN NaN NaN
id459 2.997779 NaN NaN NaN
id460 -5.252229 NaN NaN NaN
id461 -2.307571 NaN NaN NaN
id462 -0.253405 NaN NaN NaN
id463 -6.852945 NaN NaN NaN
id464 5.374005 NaN NaN NaN
id465 3.055771 NaN NaN NaN
id466 -2.386986 NaN NaN NaN
id467 9.521882 NaN NaN NaN
id468 3.728500 NaN NaN NaN
id469 -1.032268 NaN NaN NaN
id470 -0.404764 NaN NaN NaN
id471 -0.022636 NaN NaN NaN
id472 -5.867917 NaN NaN NaN
id473 2.380601 NaN NaN NaN
id474 -3.217417 NaN NaN NaN
id475 1.249956 NaN NaN NaN
id476 -1.402675 NaN NaN NaN
id477 3.823734 NaN NaN NaN
id478 -3.976771 NaN NaN NaN
id479 2.246807 NaN NaN NaN
id480 1.143913 NaN NaN NaN
id481 -0.387989 NaN NaN NaN
id482 0.023081 NaN NaN NaN
id483 0.841854 NaN NaN NaN
id484 2.221302 NaN NaN NaN
id485 -3.438266 NaN NaN NaN
id486 -2.717856 NaN NaN NaN
id487 -2.954117 NaN NaN NaN
id488 3.948103 NaN NaN NaN
id489 1.252994 NaN NaN NaN
id490 -7.551563 NaN NaN NaN
id491 -7.982688 NaN NaN NaN
id492 5.704923 NaN NaN NaN
id493 -1.318274 NaN NaN NaN
id494 -1.889039 NaN NaN NaN
id495 1.095552 NaN NaN NaN
id496 1.120952 NaN NaN NaN
id497 0.252303 NaN NaN NaN
id498 0.286749 NaN NaN NaN
id499 1.169296 NaN NaN NaN
id500 5.293651 NaN NaN NaN
id501 -0.331084 NaN NaN NaN
id502 1.106032 NaN NaN NaN
id503 -0.541451 NaN NaN NaN
id504 0.076939 NaN NaN NaN
id505 3.645508 NaN NaN NaN
id506 1.503593 NaN NaN NaN
id507 -5.354185 NaN NaN NaN
id508 2.306237 NaN NaN NaN
id509 5.342508 NaN NaN NaN
id510 -6.837977 NaN NaN NaN
id511 5.205055 NaN NaN NaN
id512 -4.585218 NaN NaN NaN
id513 -4.540492 NaN NaN NaN
id514 -1.345118 NaN NaN NaN
id515 3.236269 NaN NaN NaN
id516 5.998104 NaN NaN NaN
id517 -2.375982 NaN NaN NaN
id518 -5.442682 NaN NaN NaN
id519 -7.036291 NaN NaN NaN
id520 1.733943 NaN NaN NaN
id521 2.929402 NaN NaN NaN
id522 -2.658121 NaN NaN NaN
id523 1.334393 NaN NaN NaN
id524 3.307764 NaN NaN NaN
id525 3.244485 NaN NaN NaN
id526 -2.188349 NaN NaN NaN
id527 -1.489313 NaN NaN NaN
id528 -6.721282 NaN NaN NaN
id529 -2.272152 NaN NaN NaN
id530 5.658477 NaN NaN NaN
id531 -0.810931 NaN NaN NaN
id532 6.977583 NaN NaN NaN
id533 -6.888570 NaN NaN NaN
id534 5.429274 NaN NaN NaN
id535 -5.799669 NaN NaN NaN
id536 -5.127247 NaN NaN NaN
id537 -0.233835 NaN NaN NaN
id538 -2.288359 NaN NaN NaN
id539 2.311185 NaN NaN NaN
id540 -0.359611 NaN NaN NaN
id541 0.223407 NaN NaN NaN
id542 0.485822 NaN NaN NaN
id543 5.091096 NaN NaN NaN
id544 -2.555923 NaN NaN NaN
id545 -6.074294 NaN NaN NaN
id546 3.437849 NaN NaN NaN
id547 3.584669 NaN NaN NaN
id548 2.291109 NaN NaN NaN
id549 4.127322 NaN NaN NaN
id550 0.019069 NaN NaN NaN
id551 0.530111 NaN NaN NaN
id552 -2.405723 NaN NaN NaN
id553 -1.141038 NaN NaN NaN
id554 4.877973 NaN NaN NaN
id555 -0.536715 NaN NaN NaN
id556 -6.368312 NaN NaN NaN
id557 -1.576676 NaN NaN NaN
id558 -1.486445 NaN NaN NaN
id559 -5.188877 NaN NaN NaN
id560 -0.911937 NaN NaN NaN
id561 -2.357135 NaN NaN NaN
id562 1.697848 NaN NaN NaN
id563 5.379356 NaN NaN NaN
id564 6.327757 NaN NaN NaN
id565 -2.911390 NaN NaN NaN
id566 5.040706 NaN NaN NaN
id567 5.348935 NaN NaN NaN
id568 -8.502911 NaN NaN NaN
id569 -3.974889 NaN NaN NaN
id570 2.838431 NaN NaN NaN
id571 -2.315553 NaN NaN NaN
id572 -5.425564 NaN NaN NaN
id573 0.652336 NaN NaN NaN
id574 1.637768 NaN NaN NaN
id575 2.278375 NaN NaN NaN
id576 -1.491276 NaN NaN NaN
id577 -5.683695 NaN NaN NaN
id578 3.768867 NaN NaN NaN
id579 -0.275565 NaN NaN NaN
id580 2.685362 NaN NaN NaN
id581 1.998504 NaN NaN NaN
id582 -6.476126 NaN NaN NaN
id583 2.393182 NaN NaN NaN
id584 -2.175400 NaN NaN NaN
id585 4.262111 NaN NaN NaN
id586 -0.316124 NaN NaN NaN
id587 6.225490 NaN NaN NaN
id588 -0.395294 NaN NaN NaN
id589 -3.829986 NaN NaN NaN
id590 0.963686 NaN NaN NaN
id591 4.142926 NaN NaN NaN
id592 0.231678 NaN NaN NaN
id593 2.324436 NaN NaN NaN
id594 1.821402 NaN NaN NaN
id595 0.029853 NaN NaN NaN
id596 0.318565 NaN NaN NaN
id597 -0.730671 NaN NaN NaN
id598 4.497796 NaN NaN NaN
id599 -1.737110 NaN NaN NaN
id600 6.066641 NaN NaN NaN
id601 -2.024531 NaN NaN NaN
id602 1.736018 NaN NaN NaN
id603 -0.094357 NaN NaN NaN
id604 -1.232476 NaN NaN NaN
id605 -2.062690 NaN NaN NaN
id606 -2.578260 NaN NaN NaN
id607 -1.826695 NaN NaN NaN
id608 4.699777 NaN NaN NaN
id609 -0.913914 NaN NaN NaN
id610 2.437080 NaN NaN NaN
id611 0.872858 NaN NaN NaN
id612 1.163136 NaN NaN NaN
id613 -1.641093 NaN NaN NaN
id614 3.103576 NaN NaN NaN
id615 5.235982 NaN NaN NaN
id616 -3.507410 NaN NaN NaN
id617 -5.653802 NaN NaN NaN
id618 -3.541012 NaN NaN NaN
id619 2.394427 NaN NaN NaN
id620 -0.955434 NaN NaN NaN
id621 0.773807 NaN NaN NaN
id622 -1.522498 NaN NaN NaN
id623 -1.854223 NaN NaN NaN
id624 -2.299224 NaN NaN NaN
id625 1.564208 NaN NaN NaN
id626 0.469697 NaN NaN NaN
id627 4.521432 NaN NaN NaN
id628 1.974317 NaN NaN NaN
id629 1.601202 NaN NaN NaN
id630 0.904493 NaN NaN NaN
id631 2.217651 NaN NaN NaN
id632 -3.152049 NaN NaN NaN
id633 -2.165466 NaN NaN NaN
id634 0.565416 NaN NaN NaN
id635 5.802529 NaN NaN NaN
id636 1.560433 NaN NaN NaN
id637 -0.658290 NaN NaN NaN
id638 5.383489 NaN NaN NaN
id639 -2.104600 NaN NaN NaN
id640 4.735380 NaN NaN NaN
id641 5.086610 NaN NaN NaN
id642 -0.819760 NaN NaN NaN
id643 0.221710 NaN NaN NaN
id644 -0.287626 NaN NaN NaN
id645 -1.531351 NaN NaN NaN
id646 2.327855 NaN NaN NaN
id647 0.575283 NaN NaN NaN
id648 1.084086 NaN NaN NaN
id649 1.973392 NaN NaN NaN
id650 5.139878 NaN NaN NaN
id651 -6.438407 NaN NaN NaN
id652 3.664126 NaN NaN NaN
id653 2.410351 NaN NaN NaN
id654 -0.982281 NaN NaN NaN
id655 -3.004044 NaN NaN NaN
id656 3.352624 NaN NaN NaN
id657 4.286253 NaN NaN NaN
id658 -4.780012 NaN NaN NaN
id659 1.713768 NaN NaN NaN
id660 -2.725136 NaN NaN NaN
id661 -1.124040 NaN NaN NaN
id662 3.230678 NaN NaN NaN
id663 1.825397 NaN NaN NaN
id664 4.847927 NaN NaN NaN
id665 -0.942963 NaN NaN NaN
id666 5.594415 NaN NaN NaN
id667 0.781474 NaN NaN NaN
id668 2.588274 NaN NaN NaN
id669 3.070415 NaN NaN NaN
id670 -5.108287 NaN NaN NaN
id671 2.730288 NaN NaN NaN
id672 5.351861 NaN NaN NaN
id673 -1.466191 NaN NaN NaN
id674 -3.763451 NaN NaN NaN
id675 -6.754064 NaN NaN NaN
id676 -1.185486 NaN NaN NaN
id677 2.425961 NaN NaN NaN
id678 2.093633 NaN NaN NaN
id679 2.857742 NaN NaN NaN
id680 -2.981460 NaN NaN NaN
id681 -1.834203 NaN NaN NaN
id682 -3.759921 NaN NaN NaN
id683 4.753344 NaN NaN NaN
id684 0.897541 NaN NaN NaN
id685 2.063028 NaN NaN NaN
id686 -1.622336 NaN NaN NaN
id687 -3.011394 NaN NaN NaN
id688 2.027774 NaN NaN NaN
id689 5.307479 NaN NaN NaN
id690 -2.515796 NaN NaN NaN
id691 -3.563560 NaN NaN NaN
id692 -2.861782 NaN NaN NaN
id693 2.999510 NaN NaN NaN
id694 1.768598 NaN NaN NaN
id695 -1.893954 NaN NaN NaN
id696 2.471729 NaN NaN NaN
id697 7.400607 NaN NaN NaN
id698 7.200909 NaN NaN NaN
id699 6.555270 NaN NaN NaN
id700 5.396291 NaN NaN NaN
id701 3.992023 NaN NaN NaN
id702 -1.848058 NaN NaN NaN
id703 -3.420019 NaN NaN NaN
id704 1.827431 NaN NaN NaN
id705 2.669097 NaN NaN NaN
id706 -3.002342 NaN NaN NaN
id707 -0.982189 NaN NaN NaN
id708 1.249943 NaN NaN NaN
id709 -1.659352 NaN NaN NaN
id710 -0.019882 NaN NaN NaN
id711 -4.818058 NaN NaN NaN
id712 0.282155 NaN NaN NaN
id713 4.992498 NaN NaN NaN
id714 0.480692 NaN NaN NaN
id715 -3.250286 NaN NaN NaN
id716 0.543305 NaN NaN NaN
id717 0.176182 NaN NaN NaN
id718 -3.848213 NaN NaN NaN
id719 0.808798 NaN NaN NaN
id720 -0.057652 NaN NaN NaN
id721 1.523268 NaN NaN NaN
id722 0.104860 NaN NaN NaN
id723 3.233880 NaN NaN NaN
id724 1.903728 NaN NaN NaN
id725 5.150582 NaN NaN NaN
id726 0.638697 NaN NaN NaN
id727 1.461413 NaN NaN NaN
id728 -1.251869 NaN NaN NaN
id729 0.490082 NaN NaN NaN
id730 2.771089 NaN NaN NaN
id731 1.526953 NaN NaN NaN
id732 4.190047 NaN NaN NaN
id733 0.907739 NaN NaN NaN
id734 2.650532 NaN NaN NaN
id735 -0.136652 NaN NaN NaN
id736 -3.433143 NaN NaN NaN
id737 -6.236701 NaN NaN NaN
id738 3.886930 NaN NaN NaN
id739 -0.972561 NaN NaN NaN
id740 -3.851422 NaN NaN NaN
id741 -3.895296 NaN NaN NaN
id742 -4.532139 NaN NaN NaN
id743 -1.530273 NaN NaN NaN
id744 3.397187 NaN NaN NaN
id745 -8.105408 NaN NaN NaN
id746 1.225590 NaN NaN NaN
id747 -1.971290 NaN NaN NaN
id748 1.874677 NaN NaN NaN
id749 -0.050707 NaN NaN NaN
id750 1.386444 NaN NaN NaN
id751 -1.143972 NaN NaN NaN
id752 7.542724 NaN NaN NaN
id753 1.663160 NaN NaN NaN
id754 2.777089 NaN NaN NaN
id755 1.821477 NaN NaN NaN
id756 5.437834 NaN NaN NaN
id757 -2.180970 NaN NaN NaN
id758 -6.069431 NaN NaN NaN
id759 4.683783 NaN NaN NaN
id760 3.580626 NaN NaN NaN
id761 3.184968 NaN NaN NaN
id762 2.389925 NaN NaN NaN
id763 3.446459 NaN NaN NaN
id764 -0.710454 NaN NaN NaN
id765 -4.735648 NaN NaN NaN
id766 0.832162 NaN NaN NaN
id767 0.556565 NaN NaN NaN
id768 -1.124984 NaN NaN NaN
id769 0.279954 NaN NaN NaN
id770 -0.603968 NaN NaN NaN
id771 0.774009 NaN NaN NaN
id772 -1.684775 NaN NaN NaN
id773 1.078292 NaN NaN NaN
id774 -3.245859 NaN NaN NaN
id775 3.023595 NaN NaN NaN
id776 2.931893 NaN NaN NaN
id777 7.442222 NaN NaN NaN
id778 7.349607 NaN NaN NaN
id779 0.045947 NaN NaN NaN
id780 2.387407 NaN NaN NaN
id781 -0.761674 NaN NaN NaN
id782 -3.454327 NaN NaN NaN
id783 0.567579 NaN NaN NaN
id784 -1.123596 NaN NaN NaN
id785 -2.993309 NaN NaN NaN
id786 -3.626757 NaN NaN NaN
id787 -0.450567 NaN NaN NaN
id788 -6.473270 NaN NaN NaN
id789 1.013940 NaN NaN NaN
id790 -0.723804 NaN NaN NaN
id791 4.891480 NaN NaN NaN
id792 -6.099362 NaN NaN NaN
id793 -4.631366 NaN NaN NaN
id794 2.338011 NaN NaN NaN
id795 0.555079 NaN NaN NaN
id796 -2.093528 NaN NaN NaN
id797 -0.875729 NaN NaN NaN
id798 -0.481316 NaN NaN NaN
id799 2.309521 NaN NaN NaN
id800 1.751449 NaN NaN NaN
id801 -0.760349 NaN NaN NaN
id802 -3.344747 NaN NaN NaN
id803 -5.515764 NaN NaN NaN
id804 0.806832 NaN NaN NaN
id805 4.983960 NaN NaN NaN
id806 -0.165326 NaN NaN NaN
id807 -4.246890 NaN NaN NaN
id808 1.959023 NaN NaN NaN
id809 -3.045806 NaN NaN NaN
id810 5.731054 NaN NaN NaN
id811 2.329532 NaN NaN NaN
id812 1.052523 NaN NaN NaN
id813 3.803238 NaN NaN NaN
id814 -0.072867 NaN NaN NaN
id815 4.263153 NaN NaN NaN
id816 0.829103 NaN NaN NaN
id817 0.965316 NaN NaN NaN
id818 -4.650230 NaN NaN NaN
id819 0.453728 NaN NaN NaN
id820 0.756773 NaN NaN NaN
id821 4.463202 NaN NaN NaN
id822 -3.692305 NaN NaN NaN
id823 -7.675715 NaN NaN NaN
id824 -2.331324 NaN NaN NaN
id825 3.125638 NaN NaN NaN
id826 -7.115692 NaN NaN NaN
id827 1.219589 NaN NaN NaN
id828 2.890349 NaN NaN NaN
id829 -2.384038 NaN NaN NaN
id830 1.267135 NaN NaN NaN
id831 0.258343 NaN NaN NaN
id832 -2.981566 NaN NaN NaN
id833 -1.424593 NaN NaN NaN
id834 -1.338733 NaN NaN NaN
id835 -1.506635 NaN NaN NaN
id836 5.661090 NaN NaN NaN
id837 1.656418 NaN NaN NaN
id838 2.978104 NaN NaN NaN
id839 -2.900063 NaN NaN NaN
id840 2.386588 NaN NaN NaN
id841 2.407725 NaN NaN NaN
id842 -0.859427 NaN NaN NaN
id843 1.340842 NaN NaN NaN
id844 -0.723094 NaN NaN NaN
id845 0.377343 NaN NaN NaN
id846 -0.979811 NaN NaN NaN
id847 -5.884587 NaN NaN NaN
id848 1.838159 NaN NaN NaN
id849 1.001961 NaN NaN NaN
id850 0.347227 NaN NaN NaN
id851 -8.134822 NaN NaN NaN
id852 1.492771 NaN NaN NaN
id853 5.306980 NaN NaN NaN
id854 -0.588717 NaN NaN NaN
id855 -1.616689 NaN NaN NaN
id856 -1.787891 NaN NaN NaN
id857 1.494525 NaN NaN NaN
id858 1.799168 NaN NaN NaN
id859 1.718568 NaN NaN NaN
id860 -2.014178 NaN NaN NaN
id861 0.470220 NaN NaN NaN
id862 1.199491 NaN NaN NaN
id863 -7.376254 NaN NaN NaN
id864 -6.688985 NaN NaN NaN
id865 0.336191 NaN NaN NaN
id866 -1.088263 NaN NaN NaN
id867 1.644623 NaN NaN NaN
id868 -1.498101 NaN NaN NaN
id869 1.208026 NaN NaN NaN
id870 2.483432 NaN NaN NaN
id871 0.944164 NaN NaN NaN
id872 -0.729842 NaN NaN NaN
id873 2.439103 NaN NaN NaN
id874 5.456091 NaN NaN NaN
id875 2.075083 NaN NaN NaN
id876 3.531253 NaN NaN NaN
id877 1.148835 NaN NaN NaN
id878 -2.010938 NaN NaN NaN
id879 -0.286370 NaN NaN NaN
id880 0.919646 NaN NaN NaN
id881 2.666587 NaN NaN NaN
id882 1.317050 NaN NaN NaN
id883 -4.113230 NaN NaN NaN
id884 -2.261208 NaN NaN NaN
id885 3.655147 NaN NaN NaN
id886 2.503972 NaN NaN NaN
id887 0.542877 NaN NaN NaN
id888 -3.884484 NaN NaN NaN
id889 0.236291 NaN NaN NaN
id890 -1.899436 NaN NaN NaN
id891 2.884554 NaN NaN NaN
id892 2.356635 NaN NaN NaN
id893 -5.225836 NaN NaN NaN
id894 3.227190 NaN NaN NaN
id895 3.264457 NaN NaN NaN
id896 -0.313277 NaN NaN NaN
id897 2.293354 NaN NaN NaN
id898 0.206943 NaN NaN NaN
id899 -5.273126 NaN NaN NaN
id900 3.779070 NaN NaN NaN
id901 -1.636774 NaN NaN NaN
id902 2.076156 NaN NaN NaN
id903 0.804609 NaN NaN NaN
id904 -0.796601 NaN NaN NaN
id905 2.865978 NaN NaN NaN
id906 4.340907 NaN NaN NaN
id907 5.638677 NaN NaN NaN
id908 5.555277 NaN NaN NaN
id909 -3.172550 NaN NaN NaN
id910 0.253858 NaN NaN NaN
id911 -5.150945 NaN NaN NaN
id912 -1.641619 NaN NaN NaN
id913 4.173926 NaN NaN NaN
id914 1.983718 NaN NaN NaN
id915 -0.800980 NaN NaN NaN
id916 4.231497 NaN NaN NaN
id917 -4.310394 NaN NaN NaN
id918 -4.967951 NaN NaN NaN
id919 -1.425061 NaN NaN NaN
id920 2.151493 NaN NaN NaN
id921 3.207827 NaN NaN NaN
id922 -0.236584 NaN NaN NaN
id923 0.582469 NaN NaN NaN
id924 -0.493543 NaN NaN NaN
id925 -1.829055 NaN NaN NaN
id926 1.733676 NaN NaN NaN
id927 1.375654 NaN NaN NaN
id928 -1.966329 NaN NaN NaN
id929 -0.984431 NaN NaN NaN
id930 -1.829897 NaN NaN NaN
id931 -3.635492 NaN NaN NaN
id932 1.494467 NaN NaN NaN
id933 2.576946 NaN NaN NaN
id934 3.616481 NaN NaN NaN
id935 1.806531 NaN NaN NaN
id936 3.306493 NaN NaN NaN
id937 5.586669 NaN NaN NaN
id938 4.091979 NaN NaN NaN
id939 0.817787 NaN NaN NaN
id940 -2.646462 NaN NaN NaN
id941 -2.634807 NaN NaN NaN
id942 2.320478 NaN NaN NaN
id943 0.254778 NaN NaN NaN
id944 1.272194 NaN NaN NaN
id945 4.987440 NaN NaN NaN
id946 0.265818 NaN NaN NaN
id947 -1.623980 NaN NaN NaN
id948 -2.934268 NaN NaN NaN
id949 -2.890165 NaN NaN NaN
id950 1.925683 NaN NaN NaN
id951 2.832474 NaN NaN NaN
id952 3.020225 NaN NaN NaN
id953 -1.611900 NaN NaN NaN
id954 2.028584 NaN NaN NaN
id955 4.945063 NaN NaN NaN
id956 0.563405 NaN NaN NaN
id957 5.341321 NaN NaN NaN
id958 -3.821610 NaN NaN NaN
id959 -0.963985 NaN NaN NaN
id960 -1.321490 NaN NaN NaN
id961 -2.375946 NaN NaN NaN
id962 -0.763390 NaN NaN NaN
id963 8.250794 NaN NaN NaN
id964 -4.505008 NaN NaN NaN
id965 -0.103281 NaN NaN NaN
id966 1.237859 NaN NaN NaN
id967 -3.871727 NaN NaN NaN
id968 -4.399079 NaN NaN NaN
id969 1.102679 NaN NaN NaN
id970 0.322716 NaN NaN NaN
id971 2.947029 NaN NaN NaN
id972 -1.182501 NaN NaN NaN
id973 -1.688774 NaN NaN NaN
id974 2.934540 NaN NaN NaN
id975 3.524691 NaN NaN NaN
id976 -3.249212 NaN NaN NaN
id977 0.926098 NaN NaN NaN
id978 1.062285 NaN NaN NaN
id979 -2.664708 NaN NaN NaN
id980 2.223747 NaN NaN NaN
id981 0.842281 NaN NaN NaN
id982 4.094510 NaN NaN NaN
id983 3.180689 NaN NaN NaN
id984 -2.425165 NaN NaN NaN
id985 -2.840638 NaN NaN NaN
id986 0.332924 NaN NaN NaN
id987 4.955927 NaN NaN NaN
id988 -1.747853 NaN NaN NaN
id989 2.296766 NaN NaN NaN
id990 -5.782794 NaN NaN NaN
id991 3.157182 NaN NaN NaN
id992 -2.524036 NaN NaN NaN
id993 4.596090 NaN NaN NaN
id994 3.573790 NaN NaN NaN
id995 3.226311 NaN NaN NaN
id996 -1.058865 NaN NaN NaN
id997 1.630657 NaN NaN NaN
id998 -3.871951 NaN NaN NaN
id999 -0.949631 NaN NaN NaN
id1000 NA NA NA NA
Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom
Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: NaN
F-statistic: NaN on 999 and 0 DF, p-value: NAこの場合、係数は推計されるが標準誤差は推計されないようである。 係数が推計されることは、OLS推定量の式と条件からわかる。OLS推定量は以下のように表すことができる。
このxとyに行列を当てはめるだけで推定値は計算される。さらに、行列はランク落ちしないため多重共線性の問題もない。
しかし、分散を計算する場合は話が違ってくる。 この場合のβの漸近分散は以下のように与えられる。
#これは、誤差項の分散の不偏推定量である平均残差平方（MSE）の自由度がゼロになり、パラメーター推定値の漸近分散が導出できないから。
model_fe <- feols(y ~ x | id, data = data) #within推定は不可能。Error in feols(y ~ x | id, data = data): All observations are fixed-effects singletons. The estimation cannot be
done.#個人固定効果の推定結果の表示